de Kelly

El Criterio de Kelly

Durante mucho tiempo la literatura económica estuvo dominada por la hipótesis de los mercados eficientes. La idea de que era posible batir al mercado era rechazada en general en los círculos académicos. Sin embargo en la práctica muchos profesionales refinaban sus técnicas para operar los mercados financieros. Algunos utilizaban el análisis técnico para sus decisiones de compra o venta, mientras otros utilizaban el análisis fundamental.

Con el desarrollo de los computadores empezó a ganar mucha acogida el trading algorítmico. Este en esencia, se basa en tener reglas fijas de trading que un computador ejecuta automáticamente. Los traders que encontraron métodos exitosos, capaces de generar dinero consistentemente, querían usarlo todas las veces que fuera posible. Esto dio inicio a lo que hoy en día conocemos como el trading de alta frecuencia (High Frequency Trading). Estos traders sin embargo se enfrentaron a un problema que aún hoy en día no tiene una respuesta definitiva. Qué porcentaje de nuestro capital debemos arriesgar en cada transacción?

Como lo mencionábamos anteriormente, la literatura económica estuvo ampliamente dominada por la hipótesis de los mercados eficiente. De allí que el libro escrito en 1962 por Edward O Thorp, “Beat the dealer”, pasara bastante desapercibido durante la época. En este libro Thorp explicó un concepto desarrollado por Jhon Kelly, que fue reconocido como el “Criterio de Kelly”, en donde se trató de responder a la pregunta de cuál era el tamaño de apuesta óptima cuando se tenían juegos binarios. Un ejemplo de un juego binario es lanzar una moneda al aire. Allí sólo tenemos 2 posibles resultados: Cara o Sello.

Supongamos que podemos participar en un juego binario en donde en cada apuesta podemos ganar o perder $1. Esta clase de juegos se conocen como juegos de rendimientos simétricos. Esto indica que la cantidad que gano es igual que la que pierdo. Supongamos adicionalmente que nuestra probabilidad de ganar viene dada por p y que p > 0.5. Esto indica que tenemos mayores chances de ganar que de perder. Kelly demostró que la apuesta óptima en este caso viene dada por f, con

Si por ejemplo nuestra probabilidad de ganar es del 53% nuestra apuesta óptima vendrá dada por f = 6%. Esto quiere decir que en cada oportunidad debemos apostar el 6% de nuestro capital disponible. Es importante mencionar que muchos profesionales del mercado financiero consideran que están apostando en un juego de largo plazo. Por ello el criterio de Kelly ha tenido bastante acogida en la comunidad de profesionales del mercado financiero.

El criterio de Kelly no es el único que existe para definir el tamaño de la apuesta pero es muy atractivo porque asegura que no uno no se puede quebrar si selecciona un tamaño de apuesta óptima. Kelly se basó en la siguiente idea para definir el criterio: Si arriesgamos mucho dinero en cada transacción y tenemos una mala racha podemos quebrarnos rápidamente. Si por el contrario arriesgamos muy poco dinero estamos minimizando la probabilidad de quebrarnos pero también estamos minimizando nuestra ganancia esperada.

Kelly llegó a la conclusión que lo máximo que se puede arriesgar en cada apuesta en un juego binario simétrico, se podía obtener al solucionar la ecuación

En nuestro ejemplo anterior en donde p = 0.53, la máxima apuesta permitida para garantizar que no se va a ir a la ruina viene dada por f = 11.97%. (Esto se puede resolver fácilmente en EXCEL con la función buscar objetivo). Si decidiéramos apostar por ejemplo el 15% de nuestro capital disponible en cada transacción podríamos ver un acelerado crecimiento de nuestra riqueza pero eventualmente tendremos variaciones drásticas hacia abajo que harían que fuéramos a la quiebra.

Kelly también demostró que si se tenían juegos no simétricos el nivel óptimo de apuesta viene dado por:

En este caso b es el nivel de asimetría en la ganancia. Por ejemplo si por cada $1 arriesgado puedo ganar $1.2 nuestra fracción de apuesta máxima pasará de f = 6% a f= 13.8%.

Como hemos mencionado anteriormente el método aplica para apuestas binarias pero puede generalizarse a otro tipo de apuestas. En un documento reciente Thorp describe el método y explica con detalle las ecuaciones y generalizaciones del mismo. Algunos profesionales han argumentado que inclusive usar el criterio de Kelly puede llegar a ser muy arriesgado y han recomendado usar una fracción menor de lo sugerido como óptimo. Este método se ha denominado Kelly fraccionado. Como dato anecdótico, después de la quiebra del famoso fondo LTCM se pudo evidenciar que en cada apuesta arriesgaban aproximadamente 2 veces lo que el criterio de Kelly sugería.